🔄 פונקציה קדומה של eˣ ושל 1/x
📚 בהתאם לתוכנית הלימודים
בתוכנית החדשה לתיכון, כיתה י"ב: 4 יח"ל (שאלון 35472): "חשבון אינטגרלי של פונקציה מעריכית ופונקציה שהקדומה שלה היא לוגריתמית... חישובי שטחים בעזרת אינטגרל מסוים". 5 יח"ל (שאלון 35572): "חשבון אינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות. האינטגרל כהצטברות שטח". שימו לב: לפי המיקוד לבגרות תשפ"ז, "מציאת פונקציה קדומה על פי הנגזרת ונקודה על גרף הפונקציה" לא תיבחן בשאלון 35472.
🎯 מטרות השיעור
- למצוא פונקציה קדומה של eˣ, e^(ax+b), 1/x ו־1/(ax+b).
- לשלב אותן עם פולינומים, ולבדוק כל קדומה בגזירה.
- למצוא פונקציה לפי הנגזרת שלה ונקודה על הגרף.
🚪 פתק כניסה (3 דקות)
בתחילת השיעור כל תלמיד עונה על פתק, בלי ציון:
- תזכורת מי״א: מצאו פונקציה קדומה של 3x² + 4x.
- גזרו: (e^(2x))′ ו־(ln x)′.
- איזו פונקציה נגזרתה 1/x? למה הנוסחה xⁿ⁺¹/(n+1) לא עובדת כאן?
למורה: בשאלה 1 ודאו שכולם זוכרים את + C. בשאלה 3 חפשו תלמידים שמנסים x⁰/0 ומגלים שאי אפשר לחלק ב־0. זה הפתח ל־ln|x|.
🔑 מושגי מפתח
- פונקציה קדומה
- F היא קדומה של f אם F′(x) = f(x).
- אינטגרל לא מסוים
- כל הקדומות יחד: ∫f(x) dx = F(x) + C.
- קבוע C
- קבוע כלשהו. לנגזרת של קבוע אין השפעה, לכן מוסיפים אותו.
- ln x
- הלוגריתם בבסיס e. (ln x)′ = 1/x.
- ln|x|
- קדומה של 1/x בכל תחום שבו x ≠ 0, גם כש־x < 0.
📖 הסבר למורה
תזכורת מי״א: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C לכל n ≠ −1. קדומה של סכום היא סכום הקדומות, ומקדם נשאר בחוץ. השיעור היום ממלא את ה״חור״ n = −1 ומוסיף את eˣ.
(eˣ)′ = eˣ, ולכן ∫eˣ dx = eˣ + C. כי (ln|x|)′ = 1/x, מקבלים ∫(1/x) dx = ln|x| + C. כש־x > 0 כותבים פשוט ln x.
כשבתוך הפונקציה יש ביטוי לינארי ax + b, מחלקים ב־a: ∫e^(ax+b) dx = (1/a)·e^(ax+b) + C ו־∫1/(ax+b) dx = (1/a)·ln|ax+b| + C. הסיבה: בגזירה כלל השרשרת מכפיל ב־a, ובקדומה צריך לבטל אותו.
טעויות נפוצות: לשכוח את 1/a (לכתוב ∫e^(2x) dx = e^(2x)), להכפיל ב־a במקום לחלק, לכתוב ∫(1/x) dx = x⁰/0, ולשכוח את C. הבדיקה הכי טובה: לגזור את התשובה ולקבל את הפונקציה המקורית.
מציאת פונקציה לפי נגזרת ונקודה: מוצאים קדומה עם C, מציבים את הנקודה ומחשבים את C. חשוב לזכור ש־e⁰ = 1 ו־ln 1 = 0. הנושא בתוכנית הלימודים, אך לפי המיקוד לא ייבחן בשאלון 35472 במועדי תשפ״ז.
✏️ דוגמאות פתורות ללוח
דוגמה 1. מצאו את כל הפונקציות הקדומות של f(x) = 3eˣ + 4x³.
- קדומה של 3eˣ היא 3eˣ.
- קדומה של 4x³ היא 4·x⁴/4 = x⁴.
- מחברים ומוסיפים קבוע.
- בדיקה: (3eˣ + x⁴)′ = 3eˣ + 4x³.
תשובה: F(x) = 3eˣ + x⁴ + C
דוגמה 2. מצאו פונקציה קדומה של f(x) = e^(3x−1) + 2/(2x+5), בתחום x > −2.5.
- ∫e^(3x−1) dx = (1/3)·e^(3x−1): מחלקים ב־3.
- ∫2/(2x+5) dx = 2·(1/2)·ln(2x+5) = ln(2x+5).
- בתחום הנתון 2x + 5 > 0, לכן אין צורך בערך מוחלט.
- בדיקה בגזירה: (1/3)·3·e^(3x−1) + 2/(2x+5), נכון.
תשובה: F(x) = (1/3)·e^(3x−1) + ln(2x+5) + C
דוגמה 3. נתון f′(x) = 4e^(2x) − 6, והגרף של f עובר בנקודה (0, 5). מצאו את f(x).
- f(x) = 4·(1/2)·e^(2x) − 6x + C = 2e^(2x) − 6x + C
- מציבים x = 0: 2e⁰ − 0 + C = 5.
- 2 + C = 5, ולכן C = 3.
תשובה: f(x) = 2e^(2x) − 6x + 3
👩🏫 פעילות בכיתה
- פתיחה: שאלות הכניסה, תזכורת קצרה לקדומה של פולינום (5 דקות).
- גילוי בזוגות: גוזרים eˣ, e^(2x), ln x, ln(3x+1) ומנסחים כלל הפוך לקדומה.
- המורה מסכם את ארבע הנוסחאות בטבלה על הלוח.
- דוגמאות 1 ו־2: אחרי כל קדומה, תלמיד אחד גוזר בקול לבדיקה.
- דוגמה 3: מציאת C לפי נקודה, בקצרה (בתוכנית, לא במיקוד הבגרות).
- דף עבודה: שאלות 1 עד 5, מתקדמים ממשיכים לחלק הכוכב.
- סיכום ושאלות יציאה.
💡 הערות למורה
הטעות השכיחה ביותר היא שכחת 1/a בקדומה של e^(ax+b). בקשו מהתלמידים לגזור כל תשובה. מציאת פונקציה לפי נגזרת ונקודה: בתוכנית הלימודים, אך לפי המיקוד לא ייבחן בשאלון 35472 במועדי תשפ״ז. לכן מופיעים כאן רק דוגמה אחת ושאלה אחת בדף. לתלמידים מתקשים תנו את הדף המותאם עם טבלת הנוסחאות. למתקדמים: הסבירו למה ∫e^(x²) dx לא נפתר בכלל הזה (הביטוי הפנימי אינו לינארי).
❓ שאלות תרגול (בודקים בלחיצה)
1. מהי פונקציה קדומה של e^(5x)?
2. מהי פונקציה קדומה של 1/x בתחום x > 0?
3. מהי פונקציה קדומה של 1/(4x+1) בתחום x > −1/4?
4. מהי הנגזרת של ln(5x+2)? (כך בודקים קדומה של 5/(5x+2).)
עוד תרגול: בוחן תרגול של 10 שאלות ליחידה.
🎟️ כרטיס יציאה (3 דקות)
- מצאו פונקציה קדומה של 6e^(2x) + 3/x בתחום x > 0.
- בדקו בגזירה: האם F(x) = (1/2)·ln(2x+1) היא קדומה של 1/(2x+1) בתחום x > −1/2?
תשובות: 1. 3e^(2x) + 3·ln x + C. 2. כן: F′(x) = (1/2)·2/(2x+1) = 1/(2x+1).
📝 בדף העבודה
5 תרגילים, ★ חלק אקסטרה למתקדמים, ומחוון עם פתרון מלא לכל תרגיל. למתקשים יש דף עם תמיכה: מחסן מילים, תזכורת של הכלל ושאלות בשלבים.
לדף העבודה ←