🧪 לוגריתמים ובעיות גדילה ודעיכה
📚 בהתאם לתוכנית הלימודים
בתוכנית החדשה לתיכון, כיתה י"ב: 4 יח"ל (שאלון 35472): "חוקי חזקות (כולל חזקות עם מעריך רציונלי). משוואות מעריכיות... לוגריתם, חוקי לוגריתמים, משוואות לוגריתמיות... בעיות גדילה ודעיכה... זמן מחצית חיים". 5 יח"ל (שאלון 35572): "אלגברה הקשורה לחזקות ולוגריתמים. בעיות גדילה ודעיכה". בבחינה 35472, בפרק הראשון: "בעיות גדילה ודעיכה".
🎯 מטרות השיעור
- להבין מהו לוגריתם ולהשתמש בחוקי הלוגריתמים.
- לפתור משוואה aˣ = b בעזרת לוגריתם, ומשוואה לוגריתמית פשוטה.
- לבנות מודל f(t) = f(0)·qᵗ ולמצוא כמות, זמן, מחצית חיים ונקודת השוואה בין שני תהליכים.
🚪 פתק כניסה (3 דקות)
בתחילת השיעור כל תלמיד עונה על פתק, בלי ציון:
- באיזו חזקה צריך להעלות את 2 כדי לקבל 32?
- מחיר מוצר עלה ב־10%. בכמה כופלים את המחיר הישן?
- בין אילו שני מספרים שלמים נמצא הפתרון של 2ˣ = 12?
למורה: שאלה 1 היא בדיוק log₂ 32 = 5, תנו לתלמידים לגלות את השם. בשאלה 3 חפשו את הנימוק 2³ = 8 < 12 < 16 = 2⁴, לכן 3 < x < 4.
🔑 מושגי מפתח
- לוגריתם
- logₐ b = c ⇔ aᶜ = b. הלוגריתם הוא המעריך. למשל log₂ 8 = 3.
- log ו־ln
- log בלי בסיס הוא בבסיס 10. ln הוא בבסיס e ≈ 2.718.
- מנת גדילה q
- המספר שבו כופלים את הכמות בכל יחידת זמן. q = 1 + p/100.
- גדילה ודעיכה
- גדילה: q > 1. דעיכה: 0 < q < 1.
- זמן מחצית חיים
- הזמן שבו כמות דועכת לחצי מערכה.
- החלפת בסיס
- logₐ b = log b / log a, כך מחשבים במחשבון.
📖 הסבר למורה
לוגריתם עונה על השאלה: באיזו חזקה צריך להעלות את הבסיס כדי לקבל מספר נתון? log₃ 81 = 4 כי 3⁴ = 81. הלוגריתם מוגדר רק למספר חיובי, והבסיס חיובי ושונה מ־1.
חוקי הלוגריתמים נובעים מחוקי החזקות: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y, logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y, logₐ(xⁿ) = n·logₐ x. טעות נפוצה: log(x + y) = log x + log y. זה לא נכון. החוק הוא על מכפלה, לא על סכום.
כשאי אפשר לכתוב את שני האגפים באותו בסיס, משתמשים בלוגריתם: 5ˣ = 20 נותן x = log₅ 20 = log 20 / log 5 ≈ 1.86. במשוואה לוגריתמית בודקים בסוף שהפתרון בתחום ההגדרה, ופוסלים פתרון שנותן לוגריתם של מספר שלילי.
תהליך מעריכי משתנה באותו אחוז בכל יחידת זמן. המודל: f(t) = f(0)·qᵗ. עלייה של p% נותנת q = 1 + p/100, וירידה של p% נותנת q = 1 − p/100. טעות נפוצה: לכתוב q = 0.2 לירידה של 20%. הנכון הוא q = 0.8.
שלושה סוגי שאלות חוזרים בבגרות: מציאת q משני נתונים (מחלקים ומוציאים שורש), מציאת זמן (משוואה מעריכית שפותרים בלוגריתם), והשוואה בין שני תהליכים (משווים את שתי הנוסחאות ופותרים את t).
✏️ דוגמאות פתורות ללוח
דוגמה 1. חשבו log₂ 64, log₃(1/9) ו־log 0.001.
- 2⁶ = 64, לכן log₂ 64 = 6
- 3⁻² = 1/9, לכן log₃(1/9) = −2
- 10⁻³ = 0.001, לכן log 0.001 = −3
תשובה: 6, −2, −3
דוגמה 2. פתרו 5ˣ = 20. תנו תשובה מדויקת ותשובה בקירוב של שתי ספרות אחרי הנקודה.
- אי אפשר לכתוב 20 כחזקה שלמה של 5.
- מפעילים לוגריתם: x = log₅ 20
- החלפת בסיס: x = log 20 / log 5
- במחשבון: x ≈ 1.86
תשובה: x = log 20 / log 5 ≈ 1.86
דוגמה 3. ערך מכונית חדשה הוא 120,000 ₪. אחרי 3 שנים ערכה 87,480 ₪. הערך יורד באותו אחוז בכל שנה. א. מצאו את q ואת אחוז הירידה השנתי. ב. אחרי כמה שנים יירד הערך אל מתחת ל־50,000 ₪?
- א. 120000·q³ = 87480
- q³ = 0.729, לכן q = 0.9: ירידה של 10% בשנה.
- ב. 120000·0.9ᵗ = 50000
- 0.9ᵗ = 5/12
- t = log(5/12) / log 0.9 ≈ 8.31
- לכן במהלך השנה התשיעית, כלומר אחרי 9 שנים שלמות הערך כבר נמוך מ־50,000 ₪.
תשובה: q = 0.9 (ירידה של 10%), t ≈ 8.31, כלומר אחרי 9 שנים
👩🏫 פעילות בכיתה
- פתיחה (5 דק'): שאלות הכניסה, מתן שם ללוגריתם.
- הדגמה (7 דק'): ההגדרה ודוגמה 1, ואז חוקי הלוגריתמים עם דוגמה לכל חוק.
- זוגות (6 דק'): כרטיסיות התאמה בין logₐ b = c לבין aᶜ = b.
- הדגמה (7 דק'): דוגמה 2 במחשבון, והסבר על החלפת בסיס.
- קבוצות (12 דק'): כל קבוצה מקבלת הקשר (חיידקים, תרופה בדם, חיסכון, מכונית), בונה מודל f(t) = f(0)·qᵗ ושואלת שאלת זמן.
- הצגה (5 דק'): דוגמה 3 ושאלת השוואה בין שני תהליכים.
- סיום (3 דק'): שאלות יציאה.
💡 הערות למורה
תלמידים מתבלבלים בין q לבין אחוז השינוי. בקשו מהם לכתוב תמיד q = 1 ± p/100 לפני הנוסחה. בשאלת זמן, דונו בפירוש: t ≈ 8.31 אומר במהלך השנה התשיעית. מתקדמים: שאלות האתגר, כולל השוואה בין שני תהליכים.
❓ שאלות תרגול (בודקים בלחיצה)
1. כמה זה log₃ 81?
2. כמה זה log₂ 40 − log₂ 5?
3. ריכוז תרופה בדם יורד ב־20% בכל שעה. מהו q?
4. זמן מחצית החיים של חומר הוא 10 שנים. היו 80 גרם. כמה יישארו אחרי 30 שנה?
עוד תרגול: בוחן תרגול של 10 שאלות ליחידה.
🎟️ כרטיס יציאה (3 דקות)
- פתרו 2ˣ = 12, בקירוב של שתי ספרות אחרי הנקודה.
- חשבו log₆ 4 + log₆ 9.
תשובות: 1. x = log 12 / log 2 ≈ 3.58. 2. log₆ 36 = 2.
📝 בדף העבודה
5 תרגילים, ★ חלק אקסטרה למתקדמים, ומחוון עם פתרון מלא לכל תרגיל. למתקשים יש דף עם תמיכה: מחסן מילים, תזכורת של הכלל ושאלות בשלבים.
לדף העבודה ←