מחוון למורה · פתרונות מלאים

מחוון: פונקציה קדומה של ‪eˣ‬ ושל ‪1/x‬

1. 1. תשובה: ‪F(x) = 4eˣ − 3x² + C‬
   פתרון:
   קדומה של ‪4eˣ‬ היא ‪4eˣ‬.
   קדומה של ‪6x‬ היא ‪6·x²/2 = 3x²‬.
   מוסיפים קבוע ‪C‬.
2. 2. תשובה: ‪F(x) = (1/4)·e^(4x+1) + C‬
   פתרון:
   הביטוי הפנימי לינארי: ‪a = 4‬.
   מחלקים ב־4: ‪(1/4)·e^(4x+1)‬.
   בדיקה: ‪((1/4)·e^(4x+1))′ = (1/4)·4·e^(4x+1) = e^(4x+1)‬.
3. 3. תשובה: ‪F(x) = 5·ln x + x² + C‬
   פתרון:
   ‪∫(5/x) dx = 5·ln x‬
   ‪∫2x dx = x²‬
   מחברים ומוסיפים ‪C‬.
4. 4. תשובה: ‪F(x) = ln(3x−2) + C‬
   פתרון:
   ‪∫3/(3x−2) dx = 3·(1/3)·ln(3x−2)‬
   ‪= ln(3x−2) + C‬ (בתחום ‪3x − 2 > 0‬).
   בדיקה: ‪(ln(3x−2))′ = 3/(3x−2)‬, נכון.
5. 5. תשובה: ‪f(x) = 2e^(3x) + x² + 5‬
   פתרון:
   ‪f(x) = 6·(1/3)·e^(3x) + x² + C = 2e^(3x) + x² + C‬
   מציבים ‪x = 0‬: ‪2·1 + 0 + C = 7‬.
   ‪C = 5‬

★ חלק אקסטרה למתקדמים

1. 6. תשובה: ‪F′(x) = x·eˣ‬, ולכן ‪F‬ היא קדומה
   פתרון:
   גוזרים לפי כלל המכפלה: ‪(x·eˣ)′ = eˣ + x·eˣ‬.
   ‪F′(x) = eˣ + x·eˣ − eˣ = x·eˣ‬.
   קיבלנו ‪F′(x) = f(x)‬, ולכן ‪F‬ קדומה של ‪f‬.
2. 7. תשובה: ‪F(x) = (1/2)·e^(2x) + 2eˣ + x + C‬
   פתרון:
   פותחים סוגריים: ‪(eˣ + 1)² = e^(2x) + 2eˣ + 1‬.
   ‪∫e^(2x) dx = (1/2)·e^(2x)‬, ‪∫2eˣ dx = 2eˣ‬, ‪∫1 dx = x‬.
   בדיקה: ‪((1/2)·e^(2x) + 2eˣ + x)′ = e^(2x) + 2eˣ + 1‬.
3. 8. תשובה: ‪F(x) = x²/2 + 3·ln x + C‬
   פתרון:
   מפרקים את השבר: ‪(x² + 3)/x = x + 3/x‬.
   ‪∫x dx = x²/2‬, ‪∫(3/x) dx = 3·ln x‬.
   בדיקה: ‪(x²/2 + 3·ln x)′ = x + 3/x‬.

המורה החדש · חומרים חינמיים למורים

נוצר בבינה מלאכותית