עלייה, ירידה ובעיה מעשית

🎯 מטרות השיעור

• התלמידים ימצאו תחומי עלייה וירידה של פרבולה לפי הקודקוד
• התלמידים ימצאו תחומי חיוביות ושליליות לפי נקודות החיתוך
• התלמידים יפתרו בעיה מעשית (גובה של כדור, שטח מקסימלי) בעזרת פונקציה ריבועית

📖 הסבר למורה

בפרבולה פתוחה כלפי מעלה, משמאל לקודקוד הפונקציה יורדת ומימינו היא עולה. ב-y = (x − 2)² + 1: יורדת כאשר x < 2, עולה כאשר x > 2. בפרבולה פתוחה כלפי מטה זה הפוך. תחומי החיוביות והשליליות נקבעים לפי נקודות החיתוך עם ציר x: ב-y = (x − 1)(x − 5) הפונקציה שלילית כאשר 1 < x < 5, וחיובית כאשר x < 1 או x > 5.

בעיה מעשית (מודל פשוט): הגובה של כדור שנזרק כלפי מעלה מהקרקע הוא h(t) = −5t² + 20t מטרים, אחרי t שניות. h(1) = 15. הכדור חוזר לקרקע כש-h = 0: −5t(t − 4) = 0, כלומר t = 4. הקודקוד באמצע בין 0 ל-4, ב-t = 2, והגובה המרבי h(2) = 20 מטרים. המודל מתעלם מהתנגדות האוויר.

👩‍🏫 מהלך השיעור (45 דקות)

1. פתיחה: סרטון קצר או הדגמה של זריקת כדור. שאלה: מתי הכדור הכי גבוה? מתי הוא חוזר לקרקע? (5 דקות)
2. הסבר: עלייה וירידה סביב הקודקוד, חיוביות ושליליות בין נקודות החיתוך. שרטוט סקיצה לכל דוגמה. (12 דקות)
3. בעיית הכדור: פותרים יחד את h(t) = −5t² + 20t: גובה אחרי שנייה, נחיתה, שיא, ומתי הגובה 15 מטר. (10 דקות)
4. עבודה אישית: דף העבודה, כולל בעיית המלבן עם היקף 20. (13 דקות)
5. סיכום: למה תמיד אפשר למצוא את השיא באמצע בין שתי נקודות החיתוך? (5 דקות)

💬 שאלות בשלוש רמות

1. רמה 1, הבנה ואיתור: באיזה תחום הפונקציה y = (x − 2)² + 1 עולה?
2. רמה 2, יישום וניתוח: באילו זמנים הכדור שגובהו h(t) = −5t² + 20t נמצא בגובה 15 מטר? הסבירו למה יש שתי תשובות.
3. רמה 3, הערכה ויצירה: למלבן היקף 20 ס"מ. הראו שהשטח שלו הוא A = x(10 − x), ומצאו את המלבן בעל השטח הגדול ביותר.

🎟️ כרטיס יציאה (בסוף השיעור)

1. באיזה תחום הפונקציה y = (x − 1)(x − 5) שלילית?
2. מהו הגובה המרבי של הכדור בבעיה, ומתי הוא מגיע אליו?

📝 בדף העבודה

עלייה, ירידה ושימושים: 8 תרגילים, ומחוון מלא בעמוד השני.