🔄 הצגה קוטבית ומשפט דה־מואבר
📚 בהתאם לתוכנית הלימודים
בתוכנית החדשה לתיכון, 5 יח"ל, כיתה י"ב (שאלון 35572): "מרוכבים: הגדרה, הצגה אלגברית, שוויון, ארבע הפעולות. הצגה גרפית במישור גאוס... הצגה קוטבית (טריגונומטרית)... משפט דה-מואבר. שורשי יחידה, שורשים מסדר n". בבחינה 35572, בפרק הראשון: "הנדסה אנליטית, וקטורים (כולל טריגונומטריה במרחב), מספרים מרוכבים". הנושא לא נלמד ב-4 יח"ל.
🎯 מטרות השיעור
- לעבור בין הצגה אלגברית להצגה קוטבית z = r·cis θ.
- לכפול ולחלק בהצגה קוטבית ולהבין את המשמעות: מתיחה וסיבוב.
- להשתמש במשפט דה־מואבר לחישוב חזקות ולמציאת שורשים מסדר n.
🚪 פתק כניסה (3 דקות)
בתחילת השיעור כל תלמיד עונה על פתק, בלי ציון:
- מהו |1 + i|? ומהי הזווית בין הקטע מהראשית ל־(1, 1) לבין הכיוון החיובי של ציר x?
- חשבו: (1 + i)². מה קרה לזווית?
- כמה פתרונות ממשיים יש ל־x³ = 8? כמה פתרונות יש לדעתכם במרוכבים?
למורה: בשאלה 1 מצפים ל־√2 ול־45°. בשאלה 2 התוצאה 2i, בזווית 90°: הזווית הוכפלה. זה הרמז למשפט דה־מואבר.
🔑 מושגי מפתח
- cis θ
- קיצור של cos θ + i·sin θ.
- הצגה קוטבית
- z = r·cis θ, כאשר r = |z| ו־θ היא הזווית.
- ארגומנט θ
- הזווית בין הכיוון החיובי של הציר הממשי לבין הקטע מהראשית אל z. נהוג 0° ≤ θ < 360°.
- משפט דה־מואבר
- (r·cis θ)ⁿ = rⁿ·cis(nθ).
- שורש מסדר n
- כל פתרון של zⁿ = w. ל־w ≠ 0 יש בדיוק n שורשים.
- שורשי יחידה
- הפתרונות של zⁿ = 1.
📖 הסבר למורה
כל מספר z ≠ 0 נקבע על ידי המרחק שלו מהראשית r ועל ידי הזווית θ. מתקיים a = r·cos θ ו־b = r·sin θ, ולכן z = r·cis θ. בבגרות כותבים זוויות במעלות.
כדי למצוא את θ מסמנים קודם את הנקודה ומזהים את הרביע. אחר כך מוצאים זווית עזר מ־tan α = |b/a|. טעות נפוצה: ל־−1 − i לכתוב 45° במקום 225°.
כפל: r₁·cis θ₁ · r₂·cis θ₂ = r₁r₂·cis(θ₁ + θ₂). חילוק: מחלקים את הערכים המוחלטים ומחסרים זוויות. גאומטרית, כפל ב־r·cis θ מותח פי r ומסובב ב־θ נגד כיוון השעון. כפל ב־i הוא סיבוב ב־90°.
משפט דה־מואבר נובע מכפל חוזר: (r·cis θ)ⁿ = rⁿ·cis(nθ). כך מחשבים חזקה גבוהה בלי לפתוח סוגריים. בסוף מורידים כפולות של 360° מהזווית.
שורשים: אם w = R·cis α, הפתרונות של zⁿ = w הם z = ⁿ√R·cis((α + 360°·k)/n), עבור k = 0, 1, …, n−1. כולם על מעגל ברדיוס ⁿ√R, במרווחים של 360°/n, ולכן הם קודקודים של מצולע משוכלל. טעות נפוצה: למצוא שורש אחד בלבד.
✏️ דוגמאות פתורות ללוח
דוגמה 1. כתבו בהצגה קוטבית: z = −2 + 2√3·i.
- r = √(4 + 12) = 4.
- הנקודה (−2, 2√3) ברביע השני.
- זווית עזר: tan α = 2√3/2 = √3, ולכן α = 60°.
- θ = 180° − 60° = 120°.
תשובה: z = 4·cis 120°
דוגמה 2. חשבו: (1 − √3·i)⁶.
- r = √(1 + 3) = 2, הנקודה ברביע הרביעי, זווית עזר 60°, ולכן θ = 300°.
- דה־מואבר: 2⁶·cis(6·300°) = 64·cis 1800°.
- 1800° = 5·360°, ולכן cis 1800° = cis 0° = 1.
תשובה: 64
דוגמה 3. פתרו: z⁴ = −16 ותארו את הפתרונות במישור גאוס.
- −16 = 16·cis 180°.
- z = ⁴√16·cis((180° + 360°·k)/4) = 2·cis(45° + 90°·k).
- k = 0, 1, 2, 3: הזוויות 45°, 135°, 225°, 315°.
- 2·cis 45° = √2 + √2·i, ובאותו אופן שאר הנקודות.
- ארבע נקודות על מעגל ברדיוס 2: קודקודי ריבוע.
תשובה: z = ±√2 ± √2·i (ארבעה פתרונות, קודקודי ריבוע)
👩🏫 פעילות בכיתה
- פתיחה: שאלות הכניסה (5 דקות).
- בניית ההצגה הקוטבית מהשרטוט: a = r·cos θ, b = r·sin θ.
- דוגמה 1 על הלוח, ואז כל זוג ממיר מספר אחד מכל רביע.
- גילוי: מכפילים 2·cis 30° ב־3·cis 60° אלגברית ובודקים מה קרה ל־r ול־θ.
- דוגמה 2 (דה־מואבר) ודוגמה 3 (שורשים) בהנחיית המורה.
- דף עבודה: שאלות 1 עד 5, מתקדמים לחלק הכוכב.
- סיכום ושאלות יציאה.
💡 הערות למורה
הטעות הנפוצה ביותר היא זווית ברביע הלא נכון: דרשו שרטוט לפני כל חישוב. בשורשים, בקשו לבדוק שמספר הפתרונות שווה ל־n ושהמרווח ביניהם 360°/n. לתלמידים מתקשים תנו את הדף המותאם. למתקדמים: סכום שורשי היחידה ומשמעותו.
❓ שאלות תרגול (בודקים בלחיצה)
1. מהי ההצגה הקוטבית של 3i?
2. מהו 2·cis 50° · 3·cis 40°?
3. מהו (cis 30°)¹²?
4. כמה פתרונות יש ל־z⁵ = 1, ואיזו צורה הם יוצרים?
עוד תרגול: בוחן תרגול של 10 שאלות ליחידה.
🎟️ כרטיס יציאה (3 דקות)
- כתבו בהצגה קוטבית: 1 − i.
- חשבו בעזרת משפט דה־מואבר: (1 − i)⁴.
תשובות: 1. r = √2, רביע רביעי, θ = 315°: √2·cis 315°. 2. (√2)⁴·cis 1260° = 4·cis 180° = −4.
📝 בדף העבודה
5 תרגילים, ★ חלק אקסטרה למתקדמים, ומחוון עם פתרון מלא לכל תרגיל. למתקשים יש דף עם תמיכה: מחסן מילים, תזכורת של הכלל ושאלות בשלבים.
לדף העבודה ←