➕ סדרה חשבונית: איבר כללי וסכום
📚 בהתאם לתוכנית הלימודים
בתוכנית החדשה לתיכון: 4 יח"ל, כיתה י"ב (שאלון 35472): "סדרה חשבונית. סדרה הנדסית (כולל אינסופית שסכומה מתכנס). שילוב סדרה חשבונית וסדרה הנדסית". 5 יח"ל, כיתה י"א (שאלון 35571): מבוא לסדרות וסדרה הנדסית. שימו לב: לפי המיקוד לבגרות תשפ"ז, "סדרה חשבונית" לא תיבחן בשאלון 35571.
🎯 מטרות השיעור
- לזהות סדרה חשבונית ולמצוא את ההפרש d.
- למצוא איבר כללי ולמצוא a₁ ו־d משני איברים.
- לחשב סכום Sₙ ולפתור בעיות מילוליות.
🚪 פתק כניסה (3 דקות)
בתחילת השיעור כל תלמיד עונה על פתק, בלי ציון:
- המשיכו את הסדרה: 5, 9, 13, 17, …
- מה משותף לסדרה 40, 35, 30, 25 ולסדרה הקודמת?
- כמה מושבים יש בשורה העשירית, אם בשורה הראשונה 12 ובכל שורה 2 יותר?
למורה: חפשו תלמידים שמזהים 'מוסיפים אותו מספר כל פעם'. בשאלה 3 בדקו מי מחשב 12 + 9·2 ומי טועה ב־12 + 10·2.
🔑 מושגי מפתח
- סדרה
- רשימה מסודרת של מספרים: a₁, a₂, a₃, …
- איבר כללי aₙ
- האיבר שנמצא במקום ה־n בסדרה.
- סדרה חשבונית
- סדרה שבה ההפרש בין כל שני איברים סמוכים קבוע.
- הפרש הסדרה d
- d = aₙ₊₁ − aₙ. יכול להיות חיובי, שלילי או אפס.
- סכום Sₙ
- סכום n האיברים הראשונים של הסדרה.
📖 הסבר למורה
בסדרה חשבונית עוברים מאיבר לאיבר על ידי הוספת אותו מספר d. אם d > 0 הסדרה עולה, ואם d < 0 היא יורדת.
כדי להגיע לאיבר ה־n מוסיפים את d בדיוק n−1 פעמים. לכן aₙ = a₁ + (n−1)·d. טעות נפוצה: לכתוב n·d במקום (n−1)·d.
כאשר נתונים שני איברים, כותבים לכל אחד משוואה עם a₁ ו־d ופותרים מערכת. קיצור דרך: ההפרש בין a₁₂ ל־a₅ הוא 7d.
הסכום: מחברים את הסדרה עם עצמה בסדר הפוך. כל זוג שווה a₁ + aₙ, ויש n זוגות. לכן Sₙ = n·(a₁+aₙ)/2. כשלא ידוע aₙ מציבים ומקבלים Sₙ = n·(2a₁+(n−1)·d)/2.
בבעיות מילוליות חשוב להחליט מה הוא n: מספר השבוע, מספר השורה, מספר הקומה. טעות נפוצה: לבלבל בין איבר (כמה בשורה אחת) לבין סכום (כמה בכל השורות).
✏️ דוגמאות פתורות ללוח
דוגמה 1. בסדרה חשבונית a₁ = 7 ו־d = 4. מצאו את a₂₀.
- נוסחת האיבר הכללי: aₙ = a₁ + (n−1)·d.
- מציבים n = 20: a₂₀ = 7 + 19·4.
- a₂₀ = 7 + 76 = 83.
תשובה: a₂₀ = 83
דוגמה 2. בסדרה חשבונית a₅ = 23 ו־a₁₂ = 51. מצאו את a₁ ואת d.
- a₅ = a₁ + 4d = 23
- a₁₂ = a₁ + 11d = 51
- מחסרים: 7d = 28, ולכן d = 4.
- מציבים: a₁ + 16 = 23, ולכן a₁ = 7.
תשובה: a₁ = 7, d = 4
דוגמה 3. באולם 25 שורות. בשורה הראשונה 18 מושבים, ובכל שורה 2 מושבים יותר מבקודמת. כמה מושבים באולם?
- זו סדרה חשבונית: a₁ = 18, d = 2, n = 25.
- השורה האחרונה: a₂₅ = 18 + 24·2 = 66.
- הסכום: S₂₅ = 25·(18+66)/2.
- S₂₅ = 25·42 = 1050.
תשובה: 1050 מושבים
👩🏫 פעילות בכיתה
- פתיחה: שאלות הכניסה על הלוח (5 דקות).
- גילוי: התלמידים כותבים את a₂, a₃, a₄ בעזרת a₁ ו־d ומנסחים את האיבר הכללי.
- דוגמה 1 ודוגמה 2 בהנחיית המורה.
- סיפור הסכום: מחברים 1 + 2 + … + 100 בזוגות מהקצוות.
- עבודה בזוגות: דוגמת האולם, כל זוג מחשב בשתי נוסחאות הסכום ומשווה.
- דף עבודה: שאלות 1 עד 4, מתקדמים ממשיכים לחלק הכוכב.
- סיכום ושאלות יציאה.
💡 הערות למורה
הטעות הנפוצה ביותר היא n·d במקום (n−1)·d: בקשו מהתלמידים לבדוק את הנוסחה על n = 1. לתלמידים מתקשים תנו את הדף המותאם עם טבלה של n ו־aₙ. למתקדמים: לפתור בעיה שבה n לא ידוע והסכום נתון.
❓ שאלות תרגול (בודקים בלחיצה)
1. מהו ההפרש בסדרה 3, 10, 17, …?
2. בסדרה חשבונית a₁ = 50 ו־d = −3. מהו a₁₁?
3. מהו סכום 10 האיברים הראשונים בסדרה 2, 4, 6, …?
4. איזו מהסדרות היא סדרה חשבונית?
עוד תרגול: בוחן תרגול של 10 שאלות ליחידה.
🎟️ כרטיס יציאה (3 דקות)
- בסדרה חשבונית a₁ = 4 ו־d = 6. מצאו את a₁₅.
- מצאו את סכום 20 האיברים הראשונים באותה סדרה.
תשובות: 1. a₁₅ = 4 + 14·6 = 88. 2. S₂₀ = 20·(2·4+19·6)/2 = 10·122 = 1220.
📝 בדף העבודה
5 תרגילים, ★ חלק אקסטרה למתקדמים, ומחוון עם פתרון מלא לכל תרגיל. למתקשים יש דף עם תמיכה: מחסן מילים, תזכורת של הכלל ושאלות בשלבים.
לדף העבודה ←