🪜 שימושים: המשפט ההפוך, אלכסונים ובעיות במרחב
📚 בהתאם לתוכנית הלימודים
משפט פיתגורס מופיע בתוכנית המעודכנת לכיתה ז' ("משפט פיתגורס ושימושיו"), וחוזר בכיתה ח': "משפט פיתגורס (שילוב עם הנלמד בכיתה ז')" ו"שימוש במשפט פיתגורס במרחב". שיעור 1 מתאים לז', שיעור 2 לח'.
🎯 מטרות השיעור
- לבדוק בעזרת המשפט ההפוך אם משולש הוא ישר זווית.
- לחשב אלכסון של מלבן ושל ריבוע ולפתור בעיות מילוליות.
- לחשב אלכסון של תיבה בשני שלבים.
🚪 פתק כניסה (3 דקות)
בתחילת השיעור כל תלמיד עונה על פתק, בלי ציון:
- ניצבים 5 ו-12. מה היתר?
- נתונות צלעות 6, 8, 10. איך נדע בלי מד זווית אם יש זווית ישרה?
- מה ארוך יותר: ללכת לאורך שתי צלעות של מגרש מלבני או לחצות באלכסון? למה?
למורה: שאלה 1 היא חזרה על שיעור קודם. בשאלה 2 חפשו את הרעיון לבדוק אם a² + b² = c². שאלה 3 מכינה לבעיית קיצור הדרך.
🔑 מושגי מפתח
- המשפט ההפוך
- אם a² + b² = c² כאשר c הצלע הארוכה, אז המשולש ישר זווית.
- אלכסון מלבן
- קטע בין שני קודקודים נגדיים. הוא יתר במשולש שניצביו אורך ורוחב.
- אלכסון ריבוע
- בריבוע שצלעו a: d = a√2.
- אלכסון תיבה
- קטע בין שני קודקודים נגדיים של תיבה: d = √(a² + b² + c²).
- אלכסון פאה
- אלכסון של אחת הפאות המלבניות של התיבה.
📖 הסבר למורה
המשפט ההפוך: לוקחים את הצלע הארוכה ביותר כ-c, ובודקים אם a² + b² = c². אם כן, המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול הצלע הארוכה. אם לא, אין בו זווית ישרה.
אלכסון של מלבן מחלק אותו לשני משולשים ישרי זווית. לכן d = √(a² + b²). בריבוע הצלעות שוות, d = √(2a²) = a√2.
בבעיה מילולית משרטטים קודם, ומחפשים את הזווית הישרה: קיר ורצפה, צפון ומזרח, אורך ורוחב. רק אחר כך מחליטים מה היתר ומה הניצבים. בסולם, הסולם עצמו הוא היתר.
אלכסון תיבה: שלב 1, אלכסון הבסיס √(a² + b²). שלב 2, משולש ישר זווית שניצביו אלכסון הבסיס והגובה. יחד: d = √(a² + b² + c²).
טעויות נפוצות: שימוש במשפט במשולש שאינו ישר זווית, בדיקת המשפט ההפוך כשהצלע הארוכה לא בצד של c, וחיבור במקום חיסור כשמחפשים ניצב (גובה הסולם).
✏️ דוגמאות פתורות ללוח
דוגמה 1. האם משולש שצלעותיו 7, 24, 25 הוא ישר זווית?
- הצלע הארוכה 25, לכן היא c.
- 7² + 24² = 49 + 576 = 625
- 25² = 625, שווה.
תשובה: כן, המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול הצלע 25.
דוגמה 2. סולם באורך 5 מ' נשען על קיר. רגל הסולם רחוקה 1.4 מ' מהקיר. לאיזה גובה מגיע הסולם?
- הקיר והרצפה יוצרים זווית ישרה. הסולם הוא היתר.
- מחפשים ניצב: h² = 5² − 1.4²
- h² = 25 − 1.96 = 23.04
- h = √23.04 = 4.8
תשובה: 4.8 מ'.
דוגמה 3. תיבה באורך 12, רוחב 4 וגובה 3. מצאו את אלכסון התיבה.
- אלכסון הבסיס: √(12² + 4²) = √160
- אלכסון התיבה: d² = (√160)² + 3² = 160 + 9 = 169
- d = 13
תשובה: 13
👩🏫 פעילות בכיתה
- פתיחה: שאלות הכניסה, 5 דקות.
- המשפט ההפוך: בדיקת 6, 8, 10 ו-6, 7, 9 על הלוח.
- בניית זווית ישרה עם חבל בן 12 קשרים במרווחים שווים (3, 4, 5) בקבוצות.
- דוגמת הסולם: שרטוט, זיהוי היתר וחישוב.
- דוגמת התיבה: הדגמה על קופסת קרטון, אלכסון בסיס ואז אלכסון תיבה.
- תרגול בדף העבודה, פריטים 1 עד 4.
- סיכום: שאלות יציאה.
💡 הערות למורה
בכל בעיה מילולית דרשו שרטוט עם סימון הזווית הישרה. תלמידים מתקשים יעבדו עם דף התמיכה ועם מספרים שלמים. למתקדמים: אלכסון קובייה a√3 ושאלת העיפרון בקופסה. אפשר לקשר לשיעור על שורשים כשהתשובה אינה שלמה.
❓ שאלות תרגול (בודקים בלחיצה)
1. משולש שצלעותיו 6, 7, 9. האם הוא ישר זווית?
2. מה אורך האלכסון של ריבוע שצלעו 5?
3. תיבה במידות 2, 3, 6. מה אורך אלכסון התיבה?
4. מגרש מלבני 30 מ' על 40 מ'. כמה מטרים חוסכים כשחוצים באלכסון במקום ללכת לאורך שתי הצלעות?
עוד תרגול: בוחן תרגול של 10 שאלות ליחידה.
🎟️ כרטיס יציאה (3 דקות)
- האם משולש שצלעותיו 9, 40, 41 ישר זווית?
- מצאו את אלכסון המלבן 12 × 5.
תשובות: 1. 81 + 1600 = 1681 = 41², כן. 2. 144 + 25 = 169, האלכסון 13.
📝 בדף העבודה
5 תרגילים, ★ חלק אקסטרה למתקדמים, ומחוון עם פתרון מלא לכל תרגיל. למתקשים יש דף עם תמיכה: מחסן מילים, תזכורת של הכלל ושאלות בשלבים.
לדף העבודה ←