מחוון למורה · פתרונות מלאים

מחוון: המספר המרוכב בהצגה אלגברית

1. 1. תשובה: ‪2 + 3i‬
   פתרון:
   חלק ממשי: ‪5 − 2 − 1 = 2‬.
   חלק מדומה: ‪−3 + 7 − 1 = 3‬.
   התוצאה: ‪2 + 3i‬.
2. 2. תשובה: ‪25‬
   פתרון:
   ‪16 − 12i + 12i − 9i²‬
   ‪16 + 9 = 25‬
   זו מכפלת מספר בצמוד שלו: ‪a² + b²‬, ולכן אין חלק מדומה.
3. 3. תשובה: ‪3 + 2i‬
   פתרון:
   כופלים בצמוד ‪2 + i‬.
   מונה: ‪(8 + i)(2 + i) = 16 + 8i + 2i + i² = 15 + 10i‬.
   מכנה: ‪4 + 1 = 5‬.
   ‪(15 + 10i)/5 = 3 + 2i‬.
4. 4. תשובה: ‪x = 4‬, ‪y = 3‬
   פתרון:
   פותחים: ‪x + xi + yi + yi² = (x − y) + (x + y)i‬.
   שוויון מרוכבים: ‪x − y = 1‬ וגם ‪x + y = 7‬.
   מחברים: ‪2x = 8‬, ‪x = 4‬, ולכן ‪y = 3‬.
5. 5. תשובה: רביע שני, ‪z̄ = −3 − 4i‬, ‪|z| = 5‬
   פתרון:
   הנקודה ‪(−3, 4)‬ נמצאת ברביע השני.
   ‪z̄ = −3 − 4i‬: שיקוף בציר הממשי.
   ‪|z| = √(9 + 16) = 5‬.

★ חלק אקסטרה למתקדמים

1. 6. תשובה: ‪z = −3 ± 5i‬
   פתרון:
   ‪Δ = 36 − 136 = −100‬.
   ‪√(−100) = 10i‬.
   ‪z = (−6 ± 10i)/2 = −3 ± 5i‬.
2. 7. תשובה: ‪4 − i‬ ו־‪−4 + i‬
   פתרון:
   ‪(x + yi)² = 15 − 8i‬, ולכן ‪x² − y² = 15‬ וגם ‪2xy = −8‬.
   ‪y = −4/x‬, ומציבים: ‪x⁴ − 15x² − 16 = 0‬.
   ‪x² = 16‬ (‪x² = −1‬ נפסל), ‪x = ±4‬.
   ‪x = 4‬ נותן ‪y = −1‬, ‪x = −4‬ נותן ‪y = 1‬.
   בדיקה: ‪(4 − i)² = 16 − 8i − 1 = 15 − 8i‬.
3. 8. תשובה: הישר ‪y = −x‬
   פתרון:
   ‪|(x − 1) + yi| = |x + (y + 1)i|‬.
   מעלים בריבוע: ‪(x − 1)² + y² = x² + (y + 1)²‬.
   ‪−2x + 1 = 2y + 1‬, ולכן ‪y = −x‬.
   זהו האנך האמצעי לקטע שבין הנקודות ‪(1, 0)‬ ו־‪(0, −1)‬.

המורה החדש · חומרים חינמיים למורים

נוצר בבינה מלאכותית