מחוון למורה · פתרונות מלאים

מחוון: חזקות עם מעריך רציונלי ומשוואות מעריכיות

1. 1. תשובה: א. ‪5‬ ב. ‪16‬ ג. ‪1/3‬
   פתרון:
   א. ‪25^(1/2) = √25 = 5‬
   ב. ‪64^(2/3) = (∛64)² = 4² = 16‬
   ג. ‪81^(−1/4) = 1/⁴√81 = 1/3‬
2. 2. תשובה: א. ‪2^(3/2)‬ ב. ‪2^(−2/3)‬
   פתרון:
   א. ‪√8 = (2³)^(1/2) = 2^(3/2)‬
   ב. ‪∛4 = (2²)^(1/3) = 2^(2/3)‬
   לכן ‪1/∛4 = 2^(−2/3)‬
3. 3. תשובה: ב. יורדת בכל התחום ועוברת בנקודה ‪(0,1)‬
   פתרון:
   הבסיס ‪1/2‬ בין 0 ל־1, לכן הפונקציה יורדת.
   ‪(1/2)⁰ = 1‬, לכן הגרף עובר ב־‪(0,1)‬.
   כל ערכי הפונקציה חיוביים, לכן אין חיתוך עם ציר ‪x‬.
4. 4. תשובה: ‪x = 4‬
   פתרון:
   ‪25 = 5²‬, לכן ‪25^(x−1) = 5^(2x−2)‬
   ‪5^(2x−2) = 5^(x+2)‬
   ‪2x − 2 = x + 2‬
   ‪x = 4‬
5. 5. תשובה: ‪x = 3‬
   פתרון:
   ‪3^(x+1) = 3·3ˣ‬
   ‪3·3ˣ + 3ˣ = 4·3ˣ = 108‬
   ‪3ˣ = 27 = 3³‬
   ‪x = 3‬

★ חלק אקסטרה למתקדמים

1. 6. תשובה: ‪x = 1‬ או ‪x = 3‬
   פתרון:
   ‪4ˣ = (2ˣ)²‬. מציבים ‪t = 2ˣ‬, ‪t > 0‬.
   ‪t² − 10t + 16 = 0‬
   ‪(t − 2)(t − 8) = 0‬, ‪t = 2‬ או ‪t = 8‬
   ‪2ˣ = 2‬ נותן ‪x = 1‬. ‪2ˣ = 8‬ נותן ‪x = 3‬.
2. 7. תשובה: ‪x ≤ −3‬
   פתרון:
   ‪8 = (1/2)⁻³‬
   ‪(1/2)ˣ ≥ (1/2)⁻³‬
   הבסיס בין 0 ל־1, לכן הכיוון מתהפך: ‪x ≤ −3‬
3. 8. תשובה: ‪x = 1‬ או ‪x = −1‬
   פתרון:
   ‪2^(2x+1) = 2·(2ˣ)²‬. מציבים ‪t = 2ˣ‬.
   ‪2t² − 5t + 2 = 0‬
   ‪t = (5 ± 3)/4‬, לכן ‪t = 2‬ או ‪t = 1/2‬
   ‪2ˣ = 2‬ נותן ‪x = 1‬. ‪2ˣ = 1/2‬ נותן ‪x = −1‬.

המורה החדש · חומרים חינמיים למורים

נוצר בבינה מלאכותית