שם: ____________כיתה: ______תאריך: ________
חשבון ומתמטיקה · כיתה י״ב · 4–5 יח״ל · אינטגרל של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: קדומה ושטחים · אינטגרל מסוים ושטחים עם eˣ ו־1/x
אינטגרל מסוים ושטחים עם eˣ ו־1/x
ענו על השאלות. בכל תרגיל הראו את דרך הפתרון. יש גם גרסה עם תמיכה.
1. חשבו ∫₀^(ln 3) eˣ dx.
2. חשבו ∫₂⁵ 1/(x−1) dx. תנו תשובה מדויקת וקירוב.
3. חשבו את השטח הכלוא בין גרף y = 1/x, ציר x, והישרים x = 1 ו־x = e².
4. חשבו את השטח הכלוא בין גרף y = eˣ, הישר y = e וציר y.
5. נתונה הפונקציה f(x) = 1/x − 1 בקטע 1/2 ≤ x ≤ 2. (א) מצאו היכן הגרף חותך את ציר x. (ב) חשבו את השטח הכלוא בין הגרף, ציר x והישרים x = 1/2, x = 2.
★ חלק אקסטרה למתקדמים
למי שסיים ורוצה אתגר.
6. ★ נתון g(x) = x·ln x בתחום x > 0. (א) הראו ש־g′(x) = ln x + 1. (ב) היעזרו בסעיף א וחשבו ∫₁^e (ln x + 1) dx.
7. ★ גרף הפונקציה y = 4/x והישר y = 5 − x נחתכים בשתי נקודות. חשבו את השטח הכלוא ביניהם, מדויק ובקירוב.
8. ★ חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים y = eˣ ו־y = e^(−x) והישר x = 1. תנו תשובה מדויקת וקירוב.
🎟️ כרטיס יציאה
1. חשבו ∫₀^(ln 5) eˣ dx. ________________________
2. מצאו את השטח הכלוא בין y = 2/x, ציר x, x = 1 ו־x = e. ________________________
מחוון למורה · פתרונות מלאים
מחוון: אינטגרל מסוים ושטחים עם eˣ ו־1/x
1. תשובה: 2
פתרון:
קדומה: eˣ.
e^(ln 3) − e⁰ = 3 − 1
2. תשובה: ln 4 ≈ 1.39
פתרון:
קדומה: ln(x−1) (בקטע x − 1 > 0).
ln 4 − ln 1 = ln 4
ln 4 ≈ 1.39
3. תשובה: 2
פתרון:
בקטע הגרף מעל ציר x, לכן השטח שווה לאינטגרל.
∫₁^(e²) (1/x) dx = ln e² − ln 1
= 2 − 0 = 2
4. תשובה: 1
פתרון:
חיתוך: eˣ = e, x = 1. ציר y הוא x = 0.
בקטע 0 ≤ x ≤ 1 הישר y = e מעל y = eˣ.
∫₀¹ (e − eˣ) dx = [e·x − eˣ] = (e − e) − (0 − 1)
= 1
5. תשובה: (א) x = 1 (ב) 1/2
פתרון:
(א) 1/x − 1 = 0, x = 1.
בקטע 1/2 ≤ x ≤ 1 הגרף מעל הציר: ∫ (1/x − 1) dx = [ln x − x] = (0 − 1) − (ln(1/2) − 1/2) = ln 2 − 1/2.
בקטע 1 ≤ x ≤ 2 הגרף מתחת לציר: ∫₁² (1 − 1/x) dx = [x − ln x] = (2 − ln 2) − 1 = 1 − ln 2.
מחברים: ln 2 − 1/2 + 1 − ln 2 = 1/2.
★ חלק אקסטרה למתקדמים
6. תשובה: e ≈ 2.72
פתרון:
(א) כלל המכפלה: g′(x) = 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1.
(ב) g היא קדומה של ln x + 1.
∫₁^e (ln x + 1) dx = g(e) − g(1) = e·ln e − 1·ln 1
= e − 0 = e ≈ 2.72
7. תשובה: 15/2 − 8·ln 2 ≈ 1.95
פתרון:
חיתוך: 4/x = 5 − x, x² − 5x + 4 = 0, x = 1 או x = 4.
ב־x = 2: הישר נותן 3 והגרף 2, לכן הישר עליון.
∫₁⁴ (5 − x − 4/x) dx = [5x − x²/2 − 4·ln x] = (20 − 8 − 4·ln 4) − (5 − 1/2)
= 15/2 − 4·ln 4 = 15/2 − 8·ln 2 ≈ 1.95
8. תשובה: e + 1/e − 2 ≈ 1.09
פתרון:
חיתוך: eˣ = e^(−x), x = −x, x = 0.
בקטע 0 ≤ x ≤ 1 eˣ עליונה (למשל ב־x = 1: e > 1/e).
∫₀¹ (eˣ − e^(−x)) dx = [eˣ + e^(−x)] = (e + 1/e) − (1 + 1)
= e + 1/e − 2 ≈ 1.09
🎟️ כרטיס יציאה: 1. e^(ln 5) − e⁰ = 5 − 1 = 4. 2. 2·ln e − 2·ln 1 = 2.
התוכן מיועד ללמידה, לא לאימון מודלים וכלי AI · תנאי שימוש